우월전략과 우월전략 균형
어떤 경기자의 최적대응이 다른 경기자의 모든 가능한 전략에 대하여 동일할 때, 우리는 이 경기자가 우월전략(dominant strategy)을 가지고 있다고 말한다. 죄수의 딜레마 게임에서 고백을 하는 것은 우월전략인데, 이는 당신의 공범이 선택하는 모든 전략에 대해서 최적대응이기 때문이다. 죄수의 딜레마 게임에서는 조시에 대해 같은 분석을 해 보면 조시 역시도 고백을 하는 것이 우월전략임을 추론할 수 있다. 두 경기자 모두에게 우월전략이 존재하면 해당 게임의 균형을 찾는 방법은 자명하다. 각 경기자에 해당하는 전략이 우월전략일 때 경기자들의 전략조합을 우월전략 균형(dominantstrategy equilibrium)이라고 부른다. 위의 게임에서는 우월전략 균형이 존재한다. 고백을 하는 것이 각자에게 우월전략이기 때문에 두 경기자는 고백을 해야 한다. 즉 고백을 함으로씨 다른 경기자들이 무슨 선택을 하든 버티는 것보다 고백을 하는 편이 더 높은 보수를 얻는다.
흥미롭게도 이 균형은 두 경기자에게 최선이 아닌 결과로 이어진다. 당신과 조시 모두 버틸 때 두 사람 모두에게 더 나은 결과를 얻지만, 우월전략 균형은 둘 다 자백을 하는 것이다! 이러한 상황이 우리가 지금까지 공부한 역설 - ‘죄수의 딜레마' - 의 핵심이다. '딜레마'가 생기는 이유는 고백을 하게 되면 당신과 조시 모두 각각 5년 형을 살기 때문이다. 하지만 두 사람 모두 버티면, 각각 2년 형만 살게 된다. 형을 덜 사는 쪽이 더 사는 것보다는 선호되기 때문에 (자백, 자백) 전략조합은 (버티기, 버티기)보다 두 경기자에게 확실히 낮은 보수를 가져다준다. 그럼에도 불구하고 버티는 것은 당신의(또는 조시의) 이해에 부합하지 않으며, 이는 두 사람 모두가 고백하는 것을 유일한 우월전략 균형으로 만든다. 그렇기 때문에 딜레마가 생기는 것이다.
우월전략이 없는 게임
죄수의 딜레마 게임에는 각자에게 우월전략이 존재한다. 하지만 우월전략이 없는 게임도 많다. 당신과 당신의 친구인 지나가 모두 활발한 서퍼이고, 행텐 인 다덴(Hang Ten in Da Den)이라는 이름의 서핑용품 가게를 연다고 해 보자. 당신의 주된 경쟁자는 길 건너편에 있는 라호야 서프 숍(La Jolla Surf Shop)이라는 서핑용품 가게이다. 당신이 내려야 하는 중요한 결정 하나는 광고를 해야 하는지의 여부이다. 사실 당신의 가게와 라호야 서프 숍은 비슷한 결정을 내려야 하고, 우리는 이것이 동시에 이루어진다고 가정한다. 필요한 시장조사를 한 후에 당신은 이 단순한 게임의 보수행렬을 도표와 같이 구성하였다.
| 라호야 | |||
| 행텐 | 광고 광고안함 | ||
| 광고 광고안함 |
행텐의 수입 ＄400 라호야의 수입 ＄400 |
행텐의 수입 ＄700 라호야의 수입 ＄300 |
|
| 행텐의 수입 ＄300 라호야의 수입 ＄700 |
행텐의 수입 ＄800 라호야의 수입 ＄800 |
||
이 게임의 세 가지 핵심요소는 다음과 같이 요약된다.
경기자 : 행텐 인 다덴과 라호야 서프 숍
전략 : 광고할 것인가 안 할 것인가
보수 : 도표
도표에서 2개의 행은 당신의 전략에 대응되고, 2개의 열은 라호이 서프 숍의 전략에 대응된다. 외쪽 위의 칸은 둘 다 광고를 할 경우 두 서핑용품 가게의 하루 이윤이 400임을 보여 준다. 이에 반해오른쪽 아래 칸은 둘 다 광고를 하지 않을 경우에 각 가게의 하루 이윤은 5800가 됨을 나타낸다. 물론 광고를 하지 않을 경우에 더 높은 이윤을 얻는 것은 높은 광고비용 지출이 효과가 없다는 것으로 설명가능하다. 이 시장에서 광고의 주된 효과는 다른 가게로부터 사업을 탈취하는 것이지 새로운 소비자를 시장으로 끌어들이는 것은 아니다.
다른 두 칸(왼쪽 아래와 오른쪽 위)은 한 가게는 광고를 하고 다른 가게는 하지 않는 경우의 시나리오를 보여 준다. 이 경우 광고를 하는 쪽은 다른 가게보다 상당히 나은 결과를 얻는데, 광고를 하는 서핑용품 가게가 다른 가게로부터 소비자를 일부 빼앗아 오기 때문이다. 예를 들어 당신은 광고를 하고라호야 서프 숍은 광고를 하지 않는다면 당신은 하루에 $700를 벌지만 라호야 서프 숍은 하루 $300만을 번다.
당신은 어떻게 해야 할까? 당신의 최적대응을 알아보는 것으로 시작해 보자. 라호야 서프 숍이 광고를 할 것으로 예상한다고 해 보자. 당신의 최적대응은 무엇인가?
도표에 따르면 라호야 서프 숍이 광고를 할 경우 당신의 서핑용품 가게는 광고를 하면 $400, 광고를 하지 않으면 $300를 버는 것이 확실하다. 그러므로 라호야 서프 숍이 광고를 할 경우에는$400 > $300 이므로 광고를 하는 것이 당신의 최적대응이다.
대신에 당신이 라호야 서프 숍이 광고를 하지 않을 것으로 기대한다고 해 보자. 라호야 서프 숍이 광고를 하지 않을 경우 당신의 최적대응은 당신도 광고를 하지 않는 것이다. 왜냐하면 광고를 할 경우 당신의 가게는 $700를 얻지만 광고를하지 않으면 $800를 얻기 때문에 광고를 하지 않는 쪽이 더 낫기 때문이다.
이 게임에 우월전략이 있는가? 없다. 당신의 최적전략이 라호야 서프 숍의 선택에 따라 달라지기 때문이다. 라호야 서프 숍은 우월전략이 있는가? 비슷한 논리에 따라 그쪽도 우월전략이 없다. 따라서 당신의 서핑용품점이든 라호야 서프 숍이든 우월전략은 없다. 이런 경우 당신의 최적선택이 라호야 서프 숍의 선택에 달려 있기 때문에 당신은 어떤 선택을 해야 할지 확신하지 못한다. 바로 이런 게임이 게임이론의 핵심개념을 보여 준다. 죄수의 딜레마 게임처럼 다른 이들의 모든 전략에 대응하여 적용되는 단순한 최적대응(우월전략)이 늘 존재하는 것은 아니라는 것이다.
인생에서는 언제나 우월전략이 있는 게임만을 할 수 없다. 광고게임의 예에서 당신 가게의 최적선택은 라호야 서프 숍이 어떻게 나올지에 대한 당신의 예측에 달려 있다. 그 경우 보수행렬의 어떤 칸이 최종결과가 될 것인가 - 당신 가게는 광고를 할 것인가? 라호야 서프 숍은 광고를 할 것인가? 둘 다 광고를 할 것인가? 이 게임의 균형은 무엇일까??
